TP de Tableur, 21.11.2013


Les exercices d'aujourd'hui doivent être obligatoirement envoyés, et ceci influencera votre note.


Exercices

Retour aux permutations

Lisez les commentaires de la semaine dernière, profitez-en. Mais faites VRAIMENT l'exercice ci-dessous, je veux voir les résultats.

Vous devez constater qu'une permutation n'est pas seulement une configuration, mais aussi une transformation. Concrètement, une permutation (de nombres 0 – 20), disons,

6 19 10 4 7 0 15 17 2 14 8 16 13 5 20 1 3 11 9 12 18
peut être interprétée de deux manières, comme :

Implémenter l'enchaînement de ces transformations. Stocker la permutation-transformation dans une colonne à part, et ailleurs la colonne d'origine, ordonnée. Depuis cette séquence 0 1 2 ... construire celle ci-dessus : 6 19 10 ..., ensuite transformer le résultat, transformer le résultat suivant, etc. Est-ce qu'au bout d'une vingtaine de transformations on note quelques régularités?

Quelle variante est plus facile à faire en tableur, la directe ou l'inverse?

Essayez de faire le suivant, c'est la transformation inverse. La seconde colonne est la permutation-transformation :

0   6   15  1   19  12  13  5   0   6   15  1   19
1   19  12  13  5   0   6   15  1   19  12  13  5
2   10  8   2   10  8   2   10  8   2   10  8   2
3   4   7   17  11  16  3   4   7   17  11  16  3
4   7   17  11  16  3   4   7   17  11  16  3   4
5   0   6   15  1   19  12  13  5   0   6   15  1
6   15  1   19  12  13  5   0   6   15  1   19  12
7   17  11  16  3   4   7   17  11  16  3   4   7
8   2   10  8   2   10  8   2   10  8   2   10  8
9   14  20  18  9   14  20  18  9   14  20  18  9
10  8   2   10  8   2   10  8   2   10  8   2   10
11  16  3   4   7   17  11  16  3   4   7   17  11
12  13  5   0   6   15  1   19  12  13  5   0   6
13  5   0   6   15  1   19  12  13  5   0   6   15
14  20  18  9   14  20  18  9   14  20  18  9   14
15  1   19  12  13  5   0   6   15  1   19  12  13
16  3   4   7   17  11  16  3   4   7   17  11  16
17  11  16    3   4   7   17  11  16  3   4   7   17
18  9   14  20  18  9   14  20  18  9   14  20  18
19  12  13  5   0   6   15  1   19  12  13  5   0
20  18  9   14  20  18  9   14  20  18  9   14  20

Les ingrédients utiles sont :

Le tableau peut/doit être placé n'importe où, par exemple à partir de la ligne 3 du tableur, et la colonne D. Supposons que nous devons trouver l'élément sur la ligne 4 du tableau, colonne 5 (si la première est zéro) : là où la solution est 3.

Bien sûr, vous pouvez utiliser des expressions, genre ...LIGNE()+3;... dans les expressions. L'adressage de la colonne précédente est relatif : H si l'actuelle est I. Par contre, l'adressage de la colonne avec la transformation, doit être absolu.


Solution numérique des équations différentielles

Plusieurs processus dans la Nature et dans les techniques montrent un comportement oscillatoire, les trajectoires sinusoidales sont abondantes (le mouvement circulaire des planètes aussi ; une composante sur le plan est sinusoidale). L'équation de l'oscillateur por $x(t)$ est

$\displaystyle{\frac{d^2}{dt^2} x = - \omega^2 x}\,.$

Il existe plusieurs techniques de solution ; nous allons scinder cette équation en deux équation de premier ordre, en introduisant une nouvelle variable $u=\omega \cdot \frac{d}{dt} x$. Ainsi nous obtenons

$\displaystyle{\frac{d}{dt}x = \omega u\,; \quad \frac{d}{dt}u = -\omega x}\,.$

Si on discrétise le "temps" $t$ en tranches de valeur $dt = h$, petit, il devient une séquence : $t_0, t_1=t_0+h, t_2=t_0+2h, t_3=t_0+3h, \ldots$. Alors $x$ et $u$ deviennent également des séquences, $x \to x + h \cdot u$, etc., notés comme $x_0, x_1, x_2, \ldots$, et la même chose pour $u$.

$\displaystyle{x_{n+1} = x_n + h \cdot \omega u_n}\,,$

$\displaystyle{u_{n+1} = u_n - h \cdot \omega x_{n+1}}\,,$

Pourquoi la seconde ligne contient à droite $x_{n+1}$, et non pas $x_n$? La réponse est compliquée, il vous suffit savoir qu'ainsi la précision est meilleure. (Mais faites un test avec $\displaystyle{u_{n+1} = u_n - h \cdot \omega x_{n}}$. Il est intéressant de voir alors ce qui se passe !)

Exercice. Prendre, disons, $\omega=1$ (placer cette valeur dans une case qui pourra être changée), et $h=0.1$ ou autre. Engendrer la séquence jusquà $\omega t \approx 4\pi$, autour de 13. Faites le graphique de $x$ et $u$ ; comparez avez la vraie sinusoïde. Il faut instaurer les conditions initiales : $x_0=x(0) = 0$. Aussi $u_0 = 1$. (Pourquoi ce choix?)

La courbe rouge c'est $u$ (cosinus), et l'autre (sinus) c'est la superposition de $x$, et la "sinusoïde officielle" ; elles sont pratiquement identiques. Faites un autre test, avec $h$ plus grand ! Et encore un, avec la valeur de $\omega$ différente (plus grande).


Les exercices de Sophie

J'ai copié dans mes ressources le document ENONCE TD 9_10 L1 tableur.pdf. Ignorez les consignes destinées à son groupe, faites simplement les exercices suivants :

Tarifs postaux et la suite (Multifeuille ...)...

Faites un par un les exercices 3.2, 3.3, etc. sans vous presser. Ce que vous arrivez à faire, vous faites. Ces exercices doivent être traités APRES les miens, ci-dessus !

Cependant, chargez le fichier de données en format Calc (quand même... Pas d'Excel chez nous...) : Tarif_postal.ods.

Alarmez en cas de problèmes, mais posez toujours des questions concrètes.


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