La "vraie" réponse est: 10 minutes.
La raison classique de cette erreur de la part des étudiants est ... classique. Les humains normaux ne savent vraiment pas quelle est la signification, très forte des mots "complètement aléatoire", utilisés dans la devinette.
En plus, ce terme, utilisé ici n'a pas de sens. Le concept de complètement aléatoire ne correspond à aucune réalité, mais force une certaine vision, très partielle, dans le cerveau.
... Oui, on peut dire, que j'ai exploité la démagogie, profitant de la faible connaissance des probas de mon auditoire...
Et ces 10 minutes d'intervalle entre les bus provoquent une illusion difficile à éviter, que les fluctuations de cette distance ne soient pas exorbitantes. En fait, la réponse "5 minutes" aurait été vraie, si le mouvement des bus avait été régulier, 10 minutes entre chacun.
Mais si on est mieux éduqué, et si on se force à choisir un - relativement complet - modèle du processus aléatoire en question, le choix standard est: le processus de Poisson. Les bus qui ne se voient pas, aucune corrélation. On peut imaginer l'arrêt "Phénix" comme la cible d'un "canon à bus", qui lance aléatoirement un bus avec la densité spécifique, comme une substance radioactive émet des photons gamma ou autres particules.
Dans ces circonstances, l'arrivé du passager à l'arrêt est encore un événement aléatoire, qui s'ajoute aux autres (les bus). Il est individuel, ne change pas la moyenne, et l'intervalle moyen entre cet événement et les autres sera le même.
Combien de fois ai-je vu le doute, l'incrédulité dans les yeux de mes poulains... Donc, il fallait passer à la pédagogie plus orthodoxe, simuler, programmer cette expérience mentale. Le résultat était sans discussion: 10 minutes est 10 minutes est 10 minutes, point.
Ceci n'est pas la vraie fin de l'histoire, mais je n'avais d'habitude pas assez de temps pour creuser. Mais la continuation est très, très intéressante sur le plan scientifique, même si l'histoire qui va avec est un peu triviale.
Imaginez que la ville en question est un peu plus réaliste. Il y a du trafic. Feux rouges. Conducteurs peu responsables, qui accélèrent ou freinent inopinément, ralentissant leurs suivants. Bref, une vraie pagaille "thermique". Un processus de Gauss, quoi...
Dans ces circonstances, si un bus bloque (temporairement, partiellement) la route, son successeur qui ne peut le dépasser, va le suivre, et une queue se forme. Les bus deviennent correlés, même s'ils n'ont vraiment rien à voir l'un avec l'autre. Ainsi si le "héros" de la devinette rate un bus, il existe une bonne chance qu'il en rate plusieurs, et son temps d'attente dépasse en moyenne l'intervalle moyen entre les bus! Oui, plus de dix minutes.
Ici, pour mes étudiants en physique je racontais parfois les propriétés statistiques du rayonnement thermique (la distribution de Planck), et je discutais la différence entre une source thermique de lumière (ampoule, étoile; processus de Gauss/Planck), et un laser (rayonnement cohérent, processus de Poisson.)
D'ici on peut aborder la discussion de l'effet de Hanbury Brown & Twiss, assez fascinant, malgré ... -- non, justement, à cause de sa trivialité...
Mais ceci fera partie d'un autre chapitre...